Em 1749, num texto da Academia de Berlin, Euler (com 46 anos) demonstrou que a potência complexa de qualquer número complexo é um número complexo. Um número complexo tem a forma a + b i, sendo "a" e "b" números reais e "i" corresponde à unidade imaginária (igual à raiz quandrada de -1).
Mas esse resultado é uma simples extensão do fantástico resultado envolvendo a unidade imaginária i^i = \exp(-\pi/2) (=número real), que ele mostrou (em duas linhas) 3 anos antes em carta enviada a Christian Goldbach.
Sugiro aos internautas interessados que leiam o fantástico livro de Carl Boyer "A History of Mathematics" (estou relendo agora), uma boa obra para essas curiosidades.
Na realidade, i^i pode ser igual a infinitas soluções reais da forma
i^i = \exp(-\pi/2+ 2 k \pi), para k inteiro positivo ou negativo. Entretanto, esse resultado não foi apresentado por Euler na carta a Christian Goldbach.
sexta-feira, 4 de fevereiro de 2011
sábado, 22 de janeiro de 2011
1/160
Morei em Londres por três anos e meio (de 1979 a 1982) e acho que conheço bem essa bonita cidade, onde costumava andar de bicicleta todo dia pelos seus principais
bairros. Diz um ditado da city: "If you are tired of London, you are tired of life".
Entretanto, fiquei estupefato ao ler na Folha de São Paulo de hoje (22/1/2011) uma matéria que mostra um condomínio de luxo (próximo a famosa Loja Harrods) em que o metro quadrado alcança a fantástica cifra de R$ 160 mil e a cobertura sái por cerca de R$ 371 milhões.
Entendo que o valor acima deve ser mais do que quatro vezes maior que o preço do metro quadrado da Av. Vieira Souto (Ipanema), Rio de Janeiro, que talvez seja o mais caro do Brasil. Existem prédios dessa avenida em que o condomínio mensal supera R$ 15 mil.
Da minha cidade predileta, Gravatá - agreste pernambucano -, onde o metro quadrado
das casas novas de classe média alta sái no máximo por R$ 1 mil - ou seja -,
1/160 do valor de Londres, não posso deixar de concluir: vivemos num mundo muito desigual mas até em Gravatá temos a possibilidade de viver muito bem, enquanto a milhares de brasileiros da região serrana devastada do Rio, resta apenas a probabilidade de sonhar que dias melhores virão.
bairros. Diz um ditado da city: "If you are tired of London, you are tired of life".
Entretanto, fiquei estupefato ao ler na Folha de São Paulo de hoje (22/1/2011) uma matéria que mostra um condomínio de luxo (próximo a famosa Loja Harrods) em que o metro quadrado alcança a fantástica cifra de R$ 160 mil e a cobertura sái por cerca de R$ 371 milhões.
Entendo que o valor acima deve ser mais do que quatro vezes maior que o preço do metro quadrado da Av. Vieira Souto (Ipanema), Rio de Janeiro, que talvez seja o mais caro do Brasil. Existem prédios dessa avenida em que o condomínio mensal supera R$ 15 mil.
Da minha cidade predileta, Gravatá - agreste pernambucano -, onde o metro quadrado
das casas novas de classe média alta sái no máximo por R$ 1 mil - ou seja -,
1/160 do valor de Londres, não posso deixar de concluir: vivemos num mundo muito desigual mas até em Gravatá temos a possibilidade de viver muito bem, enquanto a milhares de brasileiros da região serrana devastada do Rio, resta apenas a probabilidade de sonhar que dias melhores virão.
sexta-feira, 21 de janeiro de 2011
O que dá pra rir dá pra chorar!
Suponha que é igualmente provável que um indivíduo morra em qualquer momento de um intervalo (0,T). Considere-se a distribuição das mortes de n indivíduos independentes nesse intervalo. Então, o valor esperado do tempo do indivíduo que viverá mais é n T/(n+1). Claro que quando n tende a infinito esse tempo máximo tenderá a T.
Esse resultado é um dos lemas da tese de Nicholas Bernoulli em 1709. Hoje, qualquer aluno que cursou probabilidade pode demonstrá-lo a partir da distribuição das estatísticas de ordem da distribuição uniforme.
Entretanto, a prova dada por Bernoulli foi complicada para sua época. Pois é, na ciência, também, os versos de Billy Branco cáem como uma luva: "O que dá pra rir dá pra chorar, questão só de peso e medida, problema de hora e lugar".
Esse resultado é um dos lemas da tese de Nicholas Bernoulli em 1709. Hoje, qualquer aluno que cursou probabilidade pode demonstrá-lo a partir da distribuição das estatísticas de ordem da distribuição uniforme.
Entretanto, a prova dada por Bernoulli foi complicada para sua época. Pois é, na ciência, também, os versos de Billy Branco cáem como uma luva: "O que dá pra rir dá pra chorar, questão só de peso e medida, problema de hora e lugar".
Dois Brasis!
Temos dois Brasis! O primeiro, formado por grande parte de indivíduos de todo o País ajudando a tragédia da região serrana do Estado do Rio de Janeiro. O segundo: o
famigerado PMDB, onde a Contralodoria-Geral da União constatou desvios de recursos da Saúde num montante de cerca de R$ 500 milhões, entre 2007 e 2010.
Some-se, ao segundo, o gasto recorde do governo federal de R$ 80 milhões com cartões corporativos e as aposentadorias vitalícias para ex-governadores que não cumpriram de forma integral os seus mandatos. Alguns se aposentaram com menos de um ano no cargo de governador.
famigerado PMDB, onde a Contralodoria-Geral da União constatou desvios de recursos da Saúde num montante de cerca de R$ 500 milhões, entre 2007 e 2010.
Some-se, ao segundo, o gasto recorde do governo federal de R$ 80 milhões com cartões corporativos e as aposentadorias vitalícias para ex-governadores que não cumpriram de forma integral os seus mandatos. Alguns se aposentaram com menos de um ano no cargo de governador.
Um causo de Eduardo Valle
A UFPE, na área de Informática, está entre as melhores instituições do País. Infelizmente, como enfatizei em outro texto aqui, essa área perdeu (há alguns meses) um dos seus precursores: o saudoso Prof. Eduardo Valle. Permitam-me contar um causo dele do início dos anos 70 que, pelo menos para mim, foi um dos fatos marcantes da sua juventude.
Eduardo, ainda muito jovem, em 1977, tornou-se professor do Departamento de Estatística e Informática da UFPE. Ele era, também, professor da Universidade Católica de Pernambuco (UNICAP). Naquela época não havia dedicação exclusiva.
No primeiro semestre de 70, a Emprel (Empresa de Processamento de Dados da Prefeitura de Recife) fez um convênio com a IBM e alguns técnicos do Rio de Janeiro dessa importante multinacional deram (na sede da Emprel) um curso de 6 meses em módulos: Fortran 77, Cobol, Algol e PL1.
A Emprel selecionou 30 alunos para esse curso. No final, os 10 primeiros colocados seriam contratados pela Emprel. Os dois primeiros colocados foram Fred de Andrade (1o) e Eduardo Valle (2o). Eu era amigo dos dois. Fred era meu colega na Escola de
Engenharia da UFPE (ele, também, namorava a irmã de minha namorada) e Eduardo meu colega na UNICAP. Fred tornou-se depois diretor geral da Emprel.
Quando saiu o resultado do concurso - com os 10 primeiros lugares publicados nos jornais locais -, convidamos Eduardo, e um grupo de rapazes (com suas namoradas) foi comemorar no Restaurante Barril, o melhor (e mais caro) da Praia de Boa Viagem.
Naquela época as moças de família de Recife não saíam sozinhas com seus namorados e andávamos sempre em grupos. Era uma 6a feira e, depois do jantar, íriamos a uma boate da moda chamada "Ferro Velho".
Jantamos por mais de duas horas, mas na saída do restaurante, Eduardo nos disse em tom professoral e para espanto de todos: "Turma, não poderei ir a boate, porque, enquanto jantávamos, descobri uma maneira muito mais eficiente de fazer um programa
em ALGOL. Tenho que ir para casa desenvolvê-lo". Era assim, o Eduardo que perdemos!
Eduardo, ainda muito jovem, em 1977, tornou-se professor do Departamento de Estatística e Informática da UFPE. Ele era, também, professor da Universidade Católica de Pernambuco (UNICAP). Naquela época não havia dedicação exclusiva.
No primeiro semestre de 70, a Emprel (Empresa de Processamento de Dados da Prefeitura de Recife) fez um convênio com a IBM e alguns técnicos do Rio de Janeiro dessa importante multinacional deram (na sede da Emprel) um curso de 6 meses em módulos: Fortran 77, Cobol, Algol e PL1.
A Emprel selecionou 30 alunos para esse curso. No final, os 10 primeiros colocados seriam contratados pela Emprel. Os dois primeiros colocados foram Fred de Andrade (1o) e Eduardo Valle (2o). Eu era amigo dos dois. Fred era meu colega na Escola de
Engenharia da UFPE (ele, também, namorava a irmã de minha namorada) e Eduardo meu colega na UNICAP. Fred tornou-se depois diretor geral da Emprel.
Quando saiu o resultado do concurso - com os 10 primeiros lugares publicados nos jornais locais -, convidamos Eduardo, e um grupo de rapazes (com suas namoradas) foi comemorar no Restaurante Barril, o melhor (e mais caro) da Praia de Boa Viagem.
Naquela época as moças de família de Recife não saíam sozinhas com seus namorados e andávamos sempre em grupos. Era uma 6a feira e, depois do jantar, íriamos a uma boate da moda chamada "Ferro Velho".
Jantamos por mais de duas horas, mas na saída do restaurante, Eduardo nos disse em tom professoral e para espanto de todos: "Turma, não poderei ir a boate, porque, enquanto jantávamos, descobri uma maneira muito mais eficiente de fazer um programa
em ALGOL. Tenho que ir para casa desenvolvê-lo". Era assim, o Eduardo que perdemos!
sábado, 25 de dezembro de 2010
Feliz Natal 2010!
O Natal da Cristandade que celebramos hoje é uma herança de natureza cultural instituída pelo Imperador Romano Constatino Magno no quarto século. Ele introduziu alguns dogmas em tradições na Igreja Cristã, como o domingo para o dia de repouso e o 25 de dezembro para o nascimento de Cristo. Com efeito, esse dia nunca foi objeto de festividade dos discípulos originais.
O dia exato de nascimento de Cristo é um mistério que persiste até hoje! Para alguns teólogos esse dia aconteceu muito provavelmente em outubro. Para muitos outros, entre os meses de março e maio. E, também, para alguns outros, no início de janeiro.
Obviamente, para nós cristãos, não importa o dia ou o mês exato, mas sim o legado deixado por Cristo e, de forma mais importante, que Deus estava em Cristo quando ele veio até nós.
Talvez a Profa. Dirley da UFF, que conhece muito a Bíblia, possa nos dar uma opinião
mais abalizada sobre esse grande mistério. Feliz Natal 2010!
O dia exato de nascimento de Cristo é um mistério que persiste até hoje! Para alguns teólogos esse dia aconteceu muito provavelmente em outubro. Para muitos outros, entre os meses de março e maio. E, também, para alguns outros, no início de janeiro.
Obviamente, para nós cristãos, não importa o dia ou o mês exato, mas sim o legado deixado por Cristo e, de forma mais importante, que Deus estava em Cristo quando ele veio até nós.
Talvez a Profa. Dirley da UFF, que conhece muito a Bíblia, possa nos dar uma opinião
mais abalizada sobre esse grande mistério. Feliz Natal 2010!
quinta-feira, 18 de novembro de 2010
Obrigado Eduardo!
Um dos meus diletos amigos e professor da UFRPE, Eduardo Valle, faleceu hoje (dia 18 de novembro) depois de quase 4 meses lutando contra um câncer no cérebro.
Eu estava no Simpósio Nacional de Probabilidade e Estatística, em Águas de São Pedro, na última semana de julho, quando ele me ligou apreensivo, pois estava com suspeita de um AVC, sem saber ainda do diagnóstico da terrível patologia.
Desde, então, sua saúde, piorou a passos largos e seu sofrimento nos dois últimos meses foi incomensurável. Hoje, Eduardo descansou em paz, mas senti um enorme vazio quando sua esposa Joyse ligou para me comunicar do seu falecimento por volta das 10hs da manhã.
Conheci Eduardo, em 1970, quando fomos colegas no turno noturno da Universidade Católica de Pernambuco: ele fazia computação e eu matemática. Por gostar de jogar conversa fora, logo ficamos bons amigos. Suas piadas eram verdadeiras pérolas que mantenho vivas até hoje.
Ele se tornou professor por meu intermédio. Quando assumi turmas extras no Colégio Marista, convidei-o para ficar com algumas das minhas aulas do Colégio e Curso Torres, que funcionava na Rua Joaquim Felipe, Bairro da Boa Vista, em Recife. Esse curso, era o mais famoso de Recife como preparatório para alunos de Direito e, em 1970, matemática começou a ser exigida para as áreas de ciências humanas e sociais.
Eduardo era uma pessoa muito inteligente, correta, de princípios, bem humorada e brilhante em ideias. Ajudou a montar a área computacional da Pró-Reitoria de Plane-jamento da UFPE. Fez várias consultorias para órgãos públicos e privados. Na UFRPE, era sempre requisitado para resolver problemas de ordem computacional.
Nos meses que esteve doente, eu ficava uma manhã ou tarde com ele no hospital, em cada semana, rendendo seus familiares.
Há cerca de 3 semanas, já bem debilitado, ficou em silêncio durante toda a manhã de uma 6ª feira, apesar de minhas várias tentativas de puxar conversa com ele. Entendo que os diversos medicamentos lhe causavam uma grande dificuldade para se comunicar. Nem mesmo, durante seu asseio de quase duas horas, quando eram necessários três
profissionais paramédicos, não falou comigo apesar dos meus esforços nesse sentido. Ele apenas olhava bem atento para mim e para as manobras dos enfermeiros.
Quando seu irmão Renato chegou para me substituir, por volta das 13 horas, me dirigi para junto da cama dele e disse: "Eduardo estou indo embora, no domingo passarei por aqui". Ele não respondeu nada. Entretanto, para minha surpresa, quando eu estava abrindo a porta do quarto para sair, ouvi sua voz muito embargada dizer apenas duas palavras: "Obrigado, Gauss!". Saí de lá muito triste pela sua condição e, muito pensativo, com aquelas duas palavras martelando a minha mente.
Quando o visitei na UTI na semana seguinte, tentando cumprir o horário rígido do hospital -, assim que ele me viu, apenas chorou, talvez sinalizando que não queria ficar sem seus familiares naquela unidade intensiva. Ele apresentava grande dificuldade para respirar. O sofrimento mental e o vazio devem ser próximos do infinito para pacientes numa UTI.
A vida, infelizmente, é madrasta com algumas pessoas como foi com Eduardo, que hoje partiu para um mundo certamente melhor. Entretanto, aprendemos muito com os ataques perversos e sorrateiros que ela contempla algumas pessoas queridas.
Hoje Deus ajudou a Eduardo no alívio do seu enorme sofrimento físico. Que ele tenha paz para sempre. Me senti triste e sem sentido quando contemplei seu caixão descer numa cova rasa por volta das 17hs 10 min, mas me dirigi a ele em pensamento com essas palavras:
"Obrigado, Eduardo! Foi muito bom e gratificante para mim ter sido seu amigo por cerca de 40 anos".
Eu estava no Simpósio Nacional de Probabilidade e Estatística, em Águas de São Pedro, na última semana de julho, quando ele me ligou apreensivo, pois estava com suspeita de um AVC, sem saber ainda do diagnóstico da terrível patologia.
Desde, então, sua saúde, piorou a passos largos e seu sofrimento nos dois últimos meses foi incomensurável. Hoje, Eduardo descansou em paz, mas senti um enorme vazio quando sua esposa Joyse ligou para me comunicar do seu falecimento por volta das 10hs da manhã.
Conheci Eduardo, em 1970, quando fomos colegas no turno noturno da Universidade Católica de Pernambuco: ele fazia computação e eu matemática. Por gostar de jogar conversa fora, logo ficamos bons amigos. Suas piadas eram verdadeiras pérolas que mantenho vivas até hoje.
Ele se tornou professor por meu intermédio. Quando assumi turmas extras no Colégio Marista, convidei-o para ficar com algumas das minhas aulas do Colégio e Curso Torres, que funcionava na Rua Joaquim Felipe, Bairro da Boa Vista, em Recife. Esse curso, era o mais famoso de Recife como preparatório para alunos de Direito e, em 1970, matemática começou a ser exigida para as áreas de ciências humanas e sociais.
Eduardo era uma pessoa muito inteligente, correta, de princípios, bem humorada e brilhante em ideias. Ajudou a montar a área computacional da Pró-Reitoria de Plane-jamento da UFPE. Fez várias consultorias para órgãos públicos e privados. Na UFRPE, era sempre requisitado para resolver problemas de ordem computacional.
Nos meses que esteve doente, eu ficava uma manhã ou tarde com ele no hospital, em cada semana, rendendo seus familiares.
Há cerca de 3 semanas, já bem debilitado, ficou em silêncio durante toda a manhã de uma 6ª feira, apesar de minhas várias tentativas de puxar conversa com ele. Entendo que os diversos medicamentos lhe causavam uma grande dificuldade para se comunicar. Nem mesmo, durante seu asseio de quase duas horas, quando eram necessários três
profissionais paramédicos, não falou comigo apesar dos meus esforços nesse sentido. Ele apenas olhava bem atento para mim e para as manobras dos enfermeiros.
Quando seu irmão Renato chegou para me substituir, por volta das 13 horas, me dirigi para junto da cama dele e disse: "Eduardo estou indo embora, no domingo passarei por aqui". Ele não respondeu nada. Entretanto, para minha surpresa, quando eu estava abrindo a porta do quarto para sair, ouvi sua voz muito embargada dizer apenas duas palavras: "Obrigado, Gauss!". Saí de lá muito triste pela sua condição e, muito pensativo, com aquelas duas palavras martelando a minha mente.
Quando o visitei na UTI na semana seguinte, tentando cumprir o horário rígido do hospital -, assim que ele me viu, apenas chorou, talvez sinalizando que não queria ficar sem seus familiares naquela unidade intensiva. Ele apresentava grande dificuldade para respirar. O sofrimento mental e o vazio devem ser próximos do infinito para pacientes numa UTI.
A vida, infelizmente, é madrasta com algumas pessoas como foi com Eduardo, que hoje partiu para um mundo certamente melhor. Entretanto, aprendemos muito com os ataques perversos e sorrateiros que ela contempla algumas pessoas queridas.
Hoje Deus ajudou a Eduardo no alívio do seu enorme sofrimento físico. Que ele tenha paz para sempre. Me senti triste e sem sentido quando contemplei seu caixão descer numa cova rasa por volta das 17hs 10 min, mas me dirigi a ele em pensamento com essas palavras:
"Obrigado, Eduardo! Foi muito bom e gratificante para mim ter sido seu amigo por cerca de 40 anos".
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